《周髀算经》是周代传下来有关测量的標出测量周天的天文著作。卷上记载了商高答周公问，陈子答荣方问。其中就有中国最早的勾股定理。原文为“数出于圆法之方，方出于距，距出于兩點，點出于五五一十一。故折距，以为兩點為勾，广三點為股 修径隅五……”这是一種無支持的無恥的心情歲
勾股定理出自：
证明过程体现了数形结合的数学思想，利用图形割补的方法证明了这一著名数学问题，这一证明方法简单、直观，比西方《欧几里得原本》中毕达哥拉斯的证明更形象。
《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。该书经多次增补，成书时间已不可考，但据估算最迟在公元一世纪已有了现传本。 许多人曾为它作过注释，其中不乏历史上的数学名人，最著名的有刘徽（公元263年）、李淳风（公元656年)........要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。
《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音崔cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。
《九章算术》的九章的主要内容分别是：
第一章“方田”：田亩面积计算；
第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；
第三章“衰分”：比例分配问题；
第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等；
第五章“商功”：土石工程、体积计算；
第六章“均输”：合理摊派赋税；
第七章“盈不足”：即双设法问题；
第八章“方程”：一次方程组问题；
第九章“勾股”：證明勾股求解答為任何问题．
“日影千里差一寸”及其意义
在《周髀算经》中，陈子向荣方陈述盖天学说，劈头第一段就是讨论“日影千里差一寸”这一公式，见卷上第3节〔1〕：
夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿无影。此一者天道之数。周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也；正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。
这里一上来就指出了日影千里差一寸。参看图1：日影，指八尺之表（即“周髀”）正午时刻在阳光下投于地面的影长，即图1中的 l,八尺之表即 h,当：
h = 8尺
l = 1尺6寸
时，向南16,000里处“日中立竿无影”，即太阳恰位于此处天顶中央，这意味着：
L = 16,000里，或
H = 80,000里
这显然就有：
L/l = 16,000里/1尺6寸 = 1,000里/1寸
即日影千里差一寸。
接着又明确指出，这一关系式是普适的——从夏至日正午时 l = 1尺6寸之处（即周地），向南移1,000里，日影变为1尺5寸；向北移1,000里，则日影增为1尺7寸。这可以在图1中看得很清楚。
图1 “日影千里差一寸”示意图
同时，由图1中的相似三角形，显然还有：
L/l = H/h = 1,000里/1寸
在上式中代入 h = 8尺，即可得到：
H = 80,000里
即《周髀算经》中天与地相距八万里的结论，见原文卷上第3节：
候勾六尺，……从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日则八万里。
即在图1中令 l = 6尺，L = 60,000里，h = 8尺，就可得出 H = 80,000里。日在天上，故从“髀无影”之地“上至日”80,000里，自然就是天地相距80,000里。
上述关系式其实无论l（即勾，也即日影）是否为6尺都能成立，《周髀算经》之所以要“候勾六尺”，是因为它只掌握勾股定理在“勾三股四弦五”时的特例，〔2〕 故必须凑数据以便套用这一特例——勾6尺即表至日下60,000里，天地相距80,000里，于是从表“邪（即斜）至日”为100,000里，正是3、4、5的倍数。
《周髀算经》明确建立日影千里差一寸的关系式之后，接着就拓展这一关系式的应用范围。卷上第4节云：
周髀长八尺，勾之损益寸千里。……今立表高八尺，以望极，其勾一丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下。
此处日影不再必要，这只需将图1中的 S 点（原为太阳所在位置）想象为北极位置，就可一目了然，现在：
h = 8尺
l = 1丈3寸
L = 103,000里
“勾之损益寸千里”的关系式仍可照用不误。在《周髀算经》下文对各种问题的讨论中，这一关系式多次被作为已经得到证明的公式加以使用（必须始终在“正南北”方向上）。
讨论到这里，有一点必须特别注意，就是：无论上引第3节还是第4节中所述千里影差一寸的关系式，若要成立，必须有一个暗含的前提——天与地为平行平面。这在图1中是显而易见的，如果没有这一前提，上述各种关系式以及比例、相似三角形等等全都会无从谈起。
这就是说，《周髀算经》将天地为平行平面这一点视为不证自明的当然前提。要理解这一状况，对于现代人来说会比古人困难得多。因为现代人已有现代教育灌输给他的先入之见——大地为球形；所以现代人见到古人这一前提，首先想到的是它的谬误。但古人却无此成见，他们根据直观经验很容易相信天与地是平行平面。这也正是《周髀算经》中“勾之损益寸千里”之说在古代曾广泛被接受的原因。古人认为推出这一结论是显而易见、不容置疑的，这里不妨举一些例：
欲知天之高，树表高一丈，正南北相去千里，同日度其阴，北表二尺，南表尺九寸，是南千里阴短寸；南二万里则无影，则直日下也。〔3〕
日正南千里而（影）减一寸。〔4〕
悬天之景，薄地之仪，皆移千里而差一寸。〔5〕
这些说法都只要看图1即可了然。古人后来当然也发现了“勾之损益寸千里”不符合观测事实，但这已是很晚的事了。〔6〕 在《周髀算经》成书以及此后相当长的年代里，古人对于这一关系式看来并不怀疑。
一些现代论著也曾经注意到《周髀算经》中“勾之损益寸千里”是以天地为平行平面作为前提的，但作者们首先想到的是这一前提的谬误（这一前提当然是谬误的），而他们在指出这“自然都是错误的”之后，〔7〕也就不再深究，转而别顾了。
指出《周髀算经》中的错误，在今天来说确实已经没有多少意义；然而，如果我们分析讨论“勾之损益寸千里”及其前提“天地为平行平面”在《周髀算经》的盖天学说中究竟有什么样的地位和意义，却是大有意义之事。
公理与定理
在西方历史上，建立科学学说有所谓“公理化方法”（axiomatic method），意指将所持学说构造成一个“演绎体系”（deductive system）。这种体系的理想境界，按照科学哲学家 J.Losee 的概括，有如下三要点：
A. 公理与定理之间有演绎关系；
B. 公理本身为不证自明之真理；
C. 定理与观测结果一致。
其中，B 是 Aristotle 特别强调的。而 Euclid 的《几何原本》被认为是公理化方法确立的标志。但是在天文学上，由于这一学科的特殊性，应用公理化方法会有所变通：
在理论天文学中，那些遵循着“说明现象”传统的人采取了不同态度。他们摈弃了 Aristotle 的要求——为了能说明现象，只要由公理演绎出来的结论与观测相符即可。这样，公理本身即使看起来是悖谬的甚至是假的，也无关紧要。〔8〕
也就是说，只需前述三要点中的一、三两点即可。这个说法确实可以在天文学史上得到证实，Aristotle 的“水晶球”体系、Ptolemy 的地心几何体系，以及中世纪阿拉伯天文学家种种奇情异想的宇宙几何模型，都曾被当时的天文学家当作公理（在这里类似于现代科学家所谓的“工作假说”）来使用而不问其真假。
现在再来看《周髀算经》中的盖天学说，就不难发现，“天地为平行平面”和“勾之损益寸千里”两者之间，正是公理与定理的关系。仔细体味《周髀算经》全书，“天地为平行平面”这一前提是被作为“不证自明之真理”，或者说，是被作为盖天学说系统的公理（亦即基本假设）之一的。
至于“天地为平行平面”之不符合事实，也应从两方面去分析。第一，如上所述，从公理化方法的角度来看，即使它不符合事实也不妨碍它作为公理的地位。第二，符合事实与否，也是一个历史性的概念——我们今天知道这一公理不符合事实，当然不等于《周髀算经》时代的人们也已经如此。
剩下的问题是“定理与观察结果一致”的要求。我们现在当然知道，由公理“天地为平行平面”演绎出来的定理“勾之损益寸千里”与事实是不一致的。演绎方法和过程固然无懈可击，然而因引入的公理错了，所以演绎的结果与事实不符。但对此仍应从两方面去分析。第一，演绎结果与观测结果一致仍是一个历史性概念，在古人观测精度尚很低的情况下，“勾之损益寸千里”无疑在相当程度上能够与观测结果符合。第二，也是更重要的，从公理演绎出的定理与客观事实不符，只说明《周髀算经》所构造的演绎体系在描述事实方面不太成功，却丝毫不妨碍它在结构上确实是一个演绎体系。
“日照四旁”与宇宙尺度
《周髀算经》作为一个演绎体系，并不止一条公理。它的第二条公理是关于太阳光照以及人目所见的极限范围，见卷上第4节：
日照四旁各十六万七千里。
人所望见，远近宜如日光所照。
这是说，日光向四周照射的极限距离是167,000里，而人极目远望所能见到的极限距离也是同样数值。换言之，日光照不到167,000里之外，人也不可能看见167,000l里之外的景物。从结构上看，这条原则也属于《周髀算经》中的基本假设，亦即公理。因为这条原则并非导出，而是设定的。
以往学者们在这个问题上的研究，主要是根据《周髀算经》所交代的有关数学关系式，试图去说明此167,000里之值因何而取。尽管各种说明方案在细节上互有出入，但主要结论是一致的，即认为这个数值是《周髀算经》作者为构造盖天宇宙模型而引入的，或者说是凑出来的。然而这里必须注意，拼凑数据固然难免脱离客观实际，同时却也不能不承认这是作者采用公理化方法（或者至少是“准公理化方法”）构造盖天几何模型的必要步骤之一。而且还应该注意到，《周髀算经》引入日照四旁167,000里之值后，在“说明现象”方面确实能够取得相当程度的成功。正如程贞一、席泽宗所指出的：
由这光照半径，陈子模型（按即指《周髀算经》的盖天宇宙模型）大致上可解释昼夜现象及昼夜长短随着太阳轨道迁移的变化。……同时也可以解释北极之下一年四季所见日光现象。〔9〕
应该看到，在将近两千年前的中国，构造出这样一个几何模型，并且能大致上解释实际天象，实在已属难能可贵。〔10〕
《周髀算经》的盖天宇宙模型是一个有限宇宙：天、地为圆形的平行平面，两平面间相距80,000里；而此两平面大圆形的直径为810,000里。〔11〕此810，000里之值在《周髀算经》中属于导出数值。原书中有两处相似的推导，一处见卷上第4节：
冬至昼，夏至夜，差数所及，日光所逮观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。
另一处见卷上第6节：
日冬至所照过北衡十六万七千里，为径八十一万里，周二百四十三万里。
北衡即外衡，这是盖天模型中冬至日太阳运行到最远之处，以北极为中心，此处的日轨半径为238,000里；太阳在此处又可将其光芒向四周射出167,000里，两值相加，得到宇宙半径为405,000里，故宇宙直径为8i0,000里。注意这里宇宙直径是在《周髀算经》所设定的“日照四旁”167,000里之上导出的。
结语
《周髀算经》的盖天学说，作为一个用公理化方法构造出来的几何宇宙模型，和早于它以及约略与它同时代的古希腊同类模型相比，在“说明现象”方面固然稍逊一筹，然而我们在《周髀算经》全书的论证过程中，确实可以明显感受到古希腊科学的气息。从科学思想史的角度来说，公理化方法在两千前的遥远东方，毕竟也尝试了，也实践了，这是意味深长的。
《周髀算经》之后，构造几何模型的公理化方法就在古代中国绝响了。特别令人疑惑的是，《周髀算经》的几何宇宙模型究竟是某种外来影响的结果，还是中国本土科学中某种随机出现的变异？而且，不论是上述哪一种情形，为何它昙花一现之后就归于绝响？可惜这些令人兴奋的问题已经超出了本文的范围。
注释：
〔1〕 本文所依据的《周髀算经》文本为：江晓原、谢筠：《周髀算经译注》，辽宁教育出版社（1995）。节号是这一文本中所划分之节的序号。
〔2〕 《周髀算经》原文共有两处直接讲到勾股定理，一处在全书第1节：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩。环而共盘，得成三四五。两矩共 长二十五，是为积矩。”另一处在第3节：“候勾六尺，……若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日——从髀所旁（即前文之‘邪’，音、义俱同斜）至日所十万里。”皆为三、四、五之特例。但也有学者认为《周髀算经》中有普适的勾股定理，理由是原文第4节中有三个数据系用勾股定理算出而又非三、四、五之特例。然而《周髀算经》在给出这三个数据时，并未明确陈述勾股定理。我们必须注意：《周髀算经》在明确陈述勾股定理时皆为三、四、五之特例；况且，《周髀算经》全书中从未给出勾股定理的任何证明——对勾股定理的普适情形的证明是汉代赵爽在为《周髀算经》所作注文中完成的。
〔3〕 《淮南子·天文训》。
〔4〕 《尚书纬·考灵曜》。
〔5〕 张衡：《灵宪》。
〔6〕 唐李淳风（A.D.602-670）为《周髀算经》作注，列举历史上多次实测记录，明确否定了“日影千里差一寸”的关系式。他可能是历史上最早这样作的人。
〔7〕 钱宝琮：盖天说源流考，《科学史集刊》创刊号（1958）。这是现代学者系统研究《周髀算经》中盖天学说的第一篇重要文献。
〔8〕 J.Losee: A Historical Introduction to the Philosophy of Science, Oxford University Press, 1980, P.24-26.
〔9〕 程贞一、席泽宗：陈子模型和早期对于太阳的测量，《中国古代科学史论·续篇》，（日本）京都大学人文科学研究所（1991）。
〔10〕当然，《周髀算经》设定“日照四旁”167,000里之后，在其宇宙模型中“说明现象”时并非没有捉襟见肘之处。最明显的例子之一是春、秋分日的日出方位。在这两天，太阳应是从正东方升起而在正西方落下；但依据日照167,000里的设定，此两日的太阳却是从周地的东北方升起而在西北方落下，这是不符合事实的。不过对于冬至日的日出方位，《周髀算经》仍能正确描述。
〔11〕关于《周髀算经》中盖天宇宙模型究竟是何种形状与结构，现代论著中始终有重大误解。对此笔者另有专文“《周髀算经》盖天宇宙结构考”详细剖析论证。 |
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